Question

如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C．小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里，≈2.45）

Answer 1

【答案】分析：（1）求DF就要求出CD和∠C的值，直角三角形ABC中，AB=BC=200，那么很容易就能求出AC和∠C的值，也就能求出CD和∠C的值，DF的值也就容易求得了．（本题运用三角形的中位线来求解也可：DF为三角形ABC的中位线．）
（2）可先设出未知数，然后用未知数表示出线段的长，将问题转换到直角三角形中，运用勾股定理来确定未知数的值．
解答：解：（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里，
∴AC=AB=200海里，∠C=45°．
∴CD=AC=100海里，DF=CF，DF=CD．
在直角三角形DFC中，设DF=CF=x，
根据勾股定理得：x²+x²=（100）²，
解得x=100，
∴DF=CF=100（海里）．
所以，小岛D和小岛F相距100海里．

（2）设相遇时补给船航行了x海里，则DE=x海里，AB+BE=2x海里，
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里，
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+（300-2x）²
整理得：3x²-1200x+100000=0，
解这个方程得：，
∵300-2x＞0，x＜150，x₂不合题意，舍去．
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．