Question

【题目】在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图（1），当点E在BC边的中点位置时，通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是；

（2）如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E在BC边的任意位置时，始终有AE=EM．小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：在BA上取一点H使AH=CE，连接EH，要证AE=EM，只需证△AHE≌△ECM．
想法2：找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF．（易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M，C，F三点在同一直线上）要证AE=EM，只需证△MEF为等腰三角形．
想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE=EM，只需证四边形MCFE为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）相等
（2）

解：想法一：如图2，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=60°．

∵AH=CE，∴BH=BE．

∴∠BHE=60°．

∴AC∥HE．

∴∠1=∠2．

在△AOE和△COM中，∠ACM=∠AEM=60°，∠AOE=MOE，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∵∠BHE=60°，

∴∠AHE=120°．

∵∠ECM=120°．

∴∠AHE=∠ECM．

∵AH=CE，

∴△AHE≌△ECM（AAS）．

∴AE=EM．

想法二：如图3，

∵在△AOE和△COM中，

∠ACM=∠AEM=60°，

∠AOE=∠COM，

∴∠EAC=∠EMC．

又由对称可知△ACE≌△FCE，

∴∠EAC=∠EFC，AE=EF．

∴∠EMC=∠EFC．

∴EF=EM．

∴AE=EM．

想法三：如图4，

∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°，

∴可证△ABE≌△CBF（SAS）．

∴∠1=∠2 AE=CF．

∵∠AEM=∠CBA=60°，

∴∠1=∠CEM．

∴∠2=∠CEM．

∴EM∥CF．

∵∠CBF=60°，BE=BF，

∴∠BEF=60°，

∴∠MCE=∠CEF=120°．

∴CM∥EF．

∴四边形MCFE为平行四边形．

∴CF=EM．

∴AE=EM

【解析】解：（1）相等．
证明如下：
如图1，取AB的中点N，连接EN，

∵△ABC为等边三角形，E、N为中点，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN=NE=EC，∠NAE=∠NEA=30°，
∴∠ANE=120°，
∵∠AEM=60°，
∴∠MEC=30°，
∴∠NAE=∠CEM，
∵CM平分∠ACG，
∴∠ACM=60°，
∴∠ECM=∠ANE=120°，
在△ANE和△ECM中

∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE=EM；
所以答案是：相等；
【考点精析】通过灵活运用三角形的“三线”和三角形的面积，掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；三角形的面积=1/2×底×高即可以解答此题．