Question

1．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x+m）（x-4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，过点B的直线y=$\frac{1}{2}$x+b交y轴于点D．

（1）求点D的坐标；
（2）把直线BD沿x轴翻折，交抛物线第二象限图象上一点E，过点E作x轴垂线，垂足为点F，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，若四边形BDEP为平行四边形，求m的值及点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点的直线上，点的坐标符合函数解析式，代入即可；
（2）先求出OB，OD再利用锐角三角函数求出BF=2EF，由它建立方程4-t=2×[-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）]，求解即可；
（3）先判断出△PEQ≌△DBO，表示出点P（t+4，-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4））+2），再利用它在抛物线 y=-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）上求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x+m）（x-4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右）
当y=0时，0=-$\frac{1}{2}$（x+m）（x-4），
∴x₁=-m，x₂=4
∴A（-m，0），B（4，0）
∵点B在直线y=$\frac{1}{2}$x+b上，
∴4×$\frac{1}{2}$+b=0，b=-2
∴直线y=$\frac{1}{2}$x-2，
当x=0时y=-2
∴D（0，-2），
（2）设E（t，-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）），
∵EF⊥x轴，
∴∠EFO=90°  EF∥y轴，
∴F（t，0），
由（1）可知D（0，-2）B（4，0），
∴OD=2  OB=4，
∴在Rt△BDO中，tan∠DBO=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∵直线BD沿x轴翻折得到BE，
∴∠DBO=∠EBF，
∴tan∠DBO=tan∠EBF，
∴tan∠EBF=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=2EF，
∴EF=-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）BF=4-t
∴4-t=2×[-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）]
∴t+m=1，
∴AF=t-（-m）=t+m=1，
∴AF=1，
（3）如图，

过点E作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线交于点Q
设EP交y轴于点M
∵四边形BDEP是平行四边形
∴EP∥DB  EP=DB
∵EP∥DB  PQ∥y轴，
∴∠EMD=∠ODB∠EMD=∠EPQ，
∴∠ODB=∠EPQ，
∵∠PQE=∠DOB=90° EP=BD，
∴△PEQ≌△DBO，
∴PQ=OD=2      EQ=OB=4，
∵E（t，-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）），
∴P（t+4，-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）+2），
∵P（t+4，-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4））+2）在抛物线 y=-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）上
∴-$\frac{1}{2}$（t+4+m）（t+4-4）=-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）+2      
∵t+m=1，
∴t=-2，
∵t+m=1，
∴m=3，
∴-$\frac{1}{2}$（t+m）（t-4）+2=5，
∴P（2，5）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查图象上的点的特点，三角形的全等的性质和判定，翻折的性质，解本题的关键是表示出点的坐标．