Question

17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-t，0），点B的坐标是（t，0），点C的坐标是（0，t），其中t＞0，点D和点E分别是AC延长线和反向延长线上的点，CD=AE，CF⊥BD于点F，直线CF交x轴于点G，直线GE交DB于点M．
（1）求证：GB平分∠CGM；
（2）试判断∠D与∠GEC之间的数量关系，并说明你的理由；
（3）若AE=$\frac{1}{2}$AC，则点B是MD的中点吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥CG于H，由A的坐标是（-t，0），点B的坐标是（t，0），点C的坐标是（0，t），得到OA=OB=OC，求得△ABC是等腰直角三角形，通过△ACH≌△BCF，△AGH∽△BGF，△CFB∽△CDF，得到$\frac{AG}{BG}=\frac{AH}{BF}$=$\frac{AH}{BF}=\frac{AE}{BC}$，等量代换得到$\frac{AG}{BG}=\frac{AE}{BC}$，于是得到△GAE∽△BCG，即可得到结论；
（2）作AN⊥MG于N，由（1）证得：AH=AN=CF，证得R_t△AEN≌R_t△CFD，于是得到∠D=∠AEN，根据平角的定义即可得到结论；
（3）连接AP，BP，由于GB平分∠CGM，PC⊥AB，得到四边形APBC是菱形，于是得到PB=AC，PB∥AC，求得AC=PB=$\frac{1}{2}$DE，通过$\frac{MB}{MD}=\frac{PB}{DE}=\frac{1}{2}$，即可得到结果．

解答 （1）证明：如图，过A作AH⊥CG于H，
∵A的坐标是（-t，0），点B的坐标是（t，0），点C的坐标是（0，t），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠HCA+∠FCB+∠HCA+∠HAC=90°，
∴∠HAC=∠FCB，
在△ACH与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHC=∠CFB=90°}\\{∠HAC=∠BCF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BCF，
∴AH=CF，CH=BF，
∵CF⊥BD，
∴AH∥BD，
∴△AGH∽△BGF，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AH}{BF}$，
∵BC⊥CD，CF⊥BD，
∴△CFB∽△CDF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{CD}{BC}$，
∵AE=CD，
∴$\frac{AH}{BF}=\frac{AE}{BC}$，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AE}{BC}$，
∵∠GAE=∠CAB=∠GAE=45°，
∴△GAE∽△BCG，
∴∠CGB=∠AGE，
∴GB平分∠CGM；

（2）解：作AN⊥MG于N，
由（1）证得：∴AH=AN=CF，
在R_t△AEN与R_t△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{AN=CF}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEN≌R_t△CFD，
∴∠D=∠AEN，
∵∠AEN+∠AEG=180°，
∴∠D+∠AEG=180°；

（3）解：点B是MD的中点，
理由：连接AP，BP，
∵GB平分∠CGM，PC⊥AB，
∴OC=OP，
∴PC与AB互相垂直平分，
∴四边形APBC是菱形，
∴PB=AC，PB∥AC，
∵AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=PB=$\frac{1}{2}$DE，
∴$\frac{MB}{MD}=\frac{PB}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴点B是MD的中点．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．