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    如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
    （1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
    （2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
    （3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
    （4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据折叠的条件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜边大于直角边，因而EF＞EC故EO＞EC
    （2）四边形CFGH与四边形CNMO的面积可以用直角△CEF的面积，可以证明四边形CFGH与四边形CNMO的面积相等．因而就可以求出m的值．
    （3）已知OC=1，可以得到C点的坐标是（0，1），易证△EFQ是等边三角形，已知QF=就可以求出Q点的坐标，把C，Q点的坐标代入函数y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函数的解析式．
    （4）过Q作y轴的垂线，已知E，Q点的坐标，可以根据三角形相似，求出OA的长，就可以求出P点的横坐标，进而求出P点的坐标．
    若△PBK与△AEF相似，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐标．
    解答：解：（1）EO＞EC，理由如下：
    由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
    ∴EF＞EC，
    故EO＞EC．

    （2）m为定值，理由如下：
    ∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
    S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
    ∴．

    （3）∵CO=1，，
    ∴EF=EO=，
    ∴cos∠FEC=，
    ∴∠FEC=60°，
    ∴，
    ∴△EFQ为等边三角形，．
    作QI⊥EO于I，EI=，IQ=，
    ∴IO=，
    ∴Q点坐标为．
    ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q，m=1，
    ∴可求得，c=1，
    ∴抛物线解析式为．

    （4）由（3），，
    当时，＜AB，
    ∴P点坐标为，
    ∴BP=AO．
    方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
    ①时，BK=，
    ∴K点坐标为或；
    ②时，，
    ∴K点坐标为或（0，1）．
    故直线KP与y轴交点T的坐标为．
    方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
    过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
    ①当∠RTP=30°时，，
    ②当∠RTP=60°时，，
    ∴．
    点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）观察与发现：将矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B′处（如图），折痕为EF、小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
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    （2）实践与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为（9，3），请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象与AC边交于点E．
    （1）求证：AE•AO=BF•BO；
    （2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
    （3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长；若不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•庆元县模拟）已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y=
    kx
    (k＞0)    的图象与BC边交于点F．
    （1）若△OAE、△OBF的面积分别为S1、S2且S1+S2=2，求k的值；
    （2）若OB=4，OA=3，记S=S△OEF-S△ECF问当点E运动到什么位置时，S有最大值，其最大值为多少？
    （3）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图所示，矩形OABC在平面直角坐标系中，矩形各顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（8，6），C（8，0）．点D（0，3）在OA上，点E（4，0）在OC上，连接DE，将△DOE绕O点逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），得到△D′OE′，连接AD′，当∠AD′O=90°时，
    （1）旋转角α等于
    60或300
    60或300
    度；
    （2）求D′、E′的坐标．

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    科目：初中数学 来源：同步题 题型：解答题

    如图所示，把矩形OABC 放置在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF。  
    （1）可以通过（    ）办法，使四边形BEFC变到四边形AEFO的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转 ”）；
    （2）求点E的坐标；    
    （3）若直线a把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直线a必经过点的坐标是_______。

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