Question

13、（Ⅰ）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：BE=DF．
（Ⅱ）请写出使如图所示的四边形ABCD为平行四边形的条件（例如，填：AB∥CD且AD∥BC．在不添加辅助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将答案直接写在下面的横线上．）
（1）：

∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC

；
（2）：

AB=CD且AD=BC

；
（3）：

OA=OC且OD=OB

；
（4）：

AB∥CD且∠DAB=∠DCB

．

Answer 1

分析：（1）运用平行四边形的性质得到相关的线段、角相等即可；
（2）熟悉平行四边形的判定方法．

解答：证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵OB=OD，
∴△BEO≌△DFO，
∴BE=DF．
（Ⅱ）（1）∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC（或两组对角分别相等）；
（2）AB=CD且AD=BC（或两组对边分别相等）；
（3）OA=OC且OD=OB（或O是AC和BD的中点；或AC与BD互相平分；或对角线互相平分）；
（4）AD∥BC且AD=BC（或AB∥DC且AB=DC；或一组对边平行且相等）；AB∥CD且∠DAB=∠DCB（或一组对边平行且一组对角相等）．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．