Question

已知关于x的一元二次方程（m²-1）x²-（2m-1）x+1=0（m为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系可以用m表示出方程两根的和与两根的积，两根的倒数和

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，即可得到关于m的不等式，即可求得m的范围．

解答：解：设方程的两根分别是x₁和x₂，根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=

2m-1

m2-1

，x₁•x₂=

1

m2-1

∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

＞0
即

2m-1

1

＞0
解得：m＞

1

2

且m≠1
△=[-（2m-1）]²-4（m²-1）
=4m²-4m+1-4m²+4=-4m+5
∵所给方程有两个实数根，
∴-4m+5≥0
∴m≤

5

4

．
综上可得：m的取值范围为：

5

4

≥m＞

1

2

且m≠1．

点评：此题综合考查了利用一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，根与系数的关系．容易忽视的问题是二次项系数不等于0，和判别式△≥0这两个条件．