Question

7．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：EF=BE+DF．
（2）如图2：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点C，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF．
请你帮小王同学写出完整的证明过程．

Answer 1

分析 （1）如图（1）中，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′，只要证明△AFE≌△AFE′即可解决问题．
（2）如图（2）中，将△ABE绕点A旋转到△ADG位置连接GF．只要证明△FAE≌△FAG得EF=FG，理由等量代换和图形中相关线段的和差关系证得EF=BE+DF．

解答 解：（1）结论：EF=BE+DF．理由如下：
如图（1）中，在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′，
∵∠ADF=∠ADE′=90°，
∴点F、D、E′共线，
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AFE和△AFE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFE′（SAS），
∴EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．

（2）结论：EF=BE+DF成立．理由如下：
如图（2）中，因为AB=AD，所以可以将△ABE绕点A旋转到△ADG位置，
∵∠B+∠ADF=180°，∠B=∠GDA，
∴∠GDA+∠ADF=180°，
∴G、D、F共线，
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF=60°，∠GAD=∠BAE，
∴∠GAF=∠EAF，
在△FAE和△FAE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAG（SAS），
EF=FG=DG+DF=BE+DF．

点评 本题考查了四边形综合题．其中涉及到了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，这个全等三角形，属于中考常考题型．