Question

4．如图①，在矩形ABCD中，AB=9．AD=12．点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A-D-C-B-A运动一周到点A停止．当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作直线PQ⊥AP，与矩形的边的另一交点为Q．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）连结PC，当t=2时，△PCQ的面积为27．
（2）设QC的长为y，求y与t之间的函数关系式．
（3）当点P在边CB上运动时，线段QC的长是否有最大值？若有，求出其最大值．
（4）在点P出发的同时，另有一个点H从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿A-B-A运动，连结PH、HQ，如图②，当点P在边AD上时，直接写出△PHQ为等腰三角形时t的值．

Answer 1

分析 （1）根据面积公式S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•QC•PQ计算即可．
（2）分四种情形①当0＜t＜4时②当4＜t＜7时③当7＜t＜11时④当11＜t＜14时，分别画出图形利用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）利用配方法根据二次函数的最值问题解决即可．
（4）①当0＜t＜$\frac{9}{4}$时②当$\frac{9}{4}$≤t≤4时分别根据三种情形利用勾股定理列出方程解决．

解答 （1）解：t=2时，AP=3×2=6，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=12，AB=CD=6，∠D=∠C=90°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQC=∠C=∠D=90°，
∴四边形CDPQ矩形，
∴PD=CQ=AD-AP=6，PQ=CD=9，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•QC•PQ=$\frac{1}{2}$×6×9=27．
故答案为27．
（2）①当0＜t＜4时，如图1中，

y=12-3t．
②当4＜t＜7时，如图2中，

∵∠APD+∠QPC=90°，∠QPC+∠PQC=90°，
∴∠APD=∠PQC，∵∠D=∠C=90°，
∴△APD∽△PQC，
∴$\frac{QC}{PD}$=$\frac{PC}{AD}$
∴$\frac{y}{3t-12}$=$\frac{21-3t}{12}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{33}{4}$t-21．
③当7＜t＜11时，如图3中，

同理可证△PQC∽△APB，
∴$\frac{QC}{PB}$=$\frac{PC}{AB}$，
∴$\frac{y}{33-3t}$=$\frac{3t-21}{9}$，
∴y=-t²+18t-77．
④当11＜t＜14时，如图4中，

QC=PB，y=3t-33．
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{12-3t}&{（0＜t＜4）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{33}{4}t-21}&{（4＜t＜7）}\\{-{t}^{2}+18t-77}&{（7＜t＜11）}\\{3t-33}&{（11＜t＜14）}\end{array}\right.$．
（3）当点P在边CB上运动时，QC的长有最大值．
∵11＜t＜14，y=-t²+18t-77=-（t-9）²+4，
∴t=9时，y最大值=4．
（4）如图5中，

①当0＜t＜$\frac{9}{4}$时，∵PA=3t．AH=4t，HB=9-4t，
如果PH=HQ，那么AH=BH，4t=$\frac{9}{2}$，t=$\frac{9}{8}$，
如果PH=PQ=9，那么PH²=PA²+AH²，9²=（3t）²+（4t）²，t=$\frac{9}{5}$，
如果PQ=QH，那么QH²=BH²+BQ²，9²=（3t）²+（9-4t）²，t=$\frac{72}{25}$（不合题意舍弃）．
当$\frac{9}{4}$≤t≤4时，BH=4t-9，AH=18-4t，
如果PH=HQ，那么AH=BH，4t=9+$\frac{9}{2}$，t=$\frac{27}{8}$，
如果PH=PQ=9，那么PH²=PA²+AH²，9²=（3t）²+（18-4t）²，方程无解．
如果PQ=QH，那么QH²=BH²+BQ²，9²=（3t）²+（4t-9）²，t=$\frac{72}{25}$．
综上所述t=$\frac{9}{8}$或$\frac{9}{5}$或$\frac{72}{25}$或$\frac{27}{8}$时，△PHQ是等腰三角形．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数、分段函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图形，注意不能漏解，题目有点难度，属于中考压轴题．