Question

19、如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，
（1）D点到B、C两点的距离相等吗？为什么？
（2）D点到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？
（3）探求BG和CH之间的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）依据角平分线的性质解答；
（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）相等．
∵D是线段BC垂直平分线上的一点，
∴D点到B、C两点的距离相等；

（2）相等．
∵点D在∠BAC的角平分线上，
∴D点到∠BAC两边的距离相等；

（3）BG=CH．
连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD=DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG=DH，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH，
∴BG=CH．

点评：本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．