Question

1．（1）如图①，等边△ABC中，点D是AB边上的一动点（点D与点B不重合），以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．你能发现线段AE、AD与AC之间的数量关系吗？证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想线段AE、AD与AC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用条件可证明△ACE≌△BCD，则可得到AE=BE，再利用线段的和差可证得结论AC=AD+AE；
（2）由条件可证明△ACE≌△BCD，同样可以得到结论AC=AE-AD．

解答 解：
（1）结论：AC=AD+AE，
证明如下：
∵△ABC、△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ECA=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ECA=∠DCB}\\{EC=DC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴AC=AB=AD+BD=AD+AE；
（2）结论：AC=AE-AD，
理由如下：
同（1）可证明△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴AC=AB=BD-AD=AE-AD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．