Question

如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（点P与C、D不重合），三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点A，另一直角边与BC交于点E．
（1）△ADP与△PCE相似吗？如果相似，请写出证明过程．
（2）当点P位于CD的中点时，求△PCE与△ADP的面积比．

Answer 1

解：（1）△ADP∽△PCE
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°
∴∠DAP+∠DPA=90°
又∵∠APE=90°，
∴∠CPE+∠DPA=90°，
∴∠DAP=∠CPE
∴△ADP∽△PCE；

（2）当点P位于CD的中点时，DP=PC=DC=AD
∵△ADP∽△PCE，
∴．
分析：（1）由于∠APE是直角，易证得∠APD和∠CEP都是∠CPE的余角，所以这两角相等，由此可证得这两个直角三角形相似；
（2）若P是CD的中点，则CP：AD=1：2，即△CPE和△ADP的相似比是1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得两三角形的面积比．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质．