Question

14．直角坐标系中有正方形ABCO，直线OA和AB的解析式分别为y=$\frac{3}{4}$x和y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$，D、E分别为CO、AB的中点，P为AO上一点，连接CP交DE于点Q．
（1）求证Q为△COP的外心；
（2）求正方形的边长；
（3）若AB与⊙Q相切求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据D、E分别为CO、AB的中点，判断出DE∥OA，即可判断出Q是CP的中点，所以Q为Rt△COP的外心，据此解答即可．
（2）首先求出y=$\frac{3}{4}$x和y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$的交点A的坐标，然后根据勾股定理，求出正方形的边长是多少即可．
（3）首先作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N，判断出E为AB与⊙Q相切的切点；然后根据AE和AO分别是⊙Q的切线与割线，可得AE²=AP•AO，据此求出AP、OP的长度各是多少；然后根据AM∥PN，求出ON，PN的长度，即可求出点P坐标是多少．

解答 （1）证明：如图1，，
∵D、E分别为CO、AB的中点，
∴DE∥OA，
∴Q是CP的中点，
又∵△COP为直角三角形，
∴Q为△COP的外心．

（2）解：如图2，作AM⊥x轴于点M，，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴点A的坐标为（4，3），
∴OA=$\sqrt{{OM}^{2}{+AM}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}=5$，
即正方形的边长是5．

（3）解：如图3，作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N，，
当AB与⊙Q相切时，
∵圆心Q在直线DE上，DE⊥AB，
∴E为AB与⊙Q相切时的切点，
又∵AE和AO分别是⊙Q的切线与割线，
∴AE²=AP•AO，
∵AE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，AO=5，
∴AP=${（\frac{5}{2}）}^{2}$$÷5=\frac{25}{4}÷5=\frac{5}{4}$，OP=5-$\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$，
∵AM⊥x轴，PN⊥x轴，
∴AM∥PN，
∴$\frac{PN}{AM}=\frac{ON}{OM}=\frac{OP}{AP}$，
即$\frac{PN}{3}=\frac{ON}{4}=\frac{\frac{15}{4}}{5}$，
解得ON=3，PN=$\frac{9}{4}$，
∴AB与⊙Q相切时点P坐标是（3，$\frac{9}{4}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了正方形的性质和应用，圆的切线和割线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．