Question

如图，已知点D（6，1）是反比例函数（k≠0）图象上的一点，点C是该函数在第三象限分支上的动点，过C、D分别作CA⊥x轴，DB⊥y轴，垂足分别为A、B，连结AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）设直线CD交x轴于点E，求证：不管点C如何运动，总有△AOB∽△EAC．

Answer 1

解：（1）将点D（6，1）的坐标代入反比例函数解析式可得：1=，
解得：k=6；

（2）过点C作CF⊥DB，交DB的延长线于点F，

则S_△BCD=BD×CF=×6×（1-C_纵）=12，
解得：C_纵=-3，
代入y=，可得点C的坐标为（-2，-3），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故直线CD的解析式为y=x-2．

（3）设点C的坐标为（m，），直线CD的解析式为y=ax+c，
则，
解得：，
即直线CD的解析式为：y=-x+，
令y=0，则x=6+m，则点E的坐标为（6+m，0），
故EA=6+m-m=6，
∵BD=EA=6，BD∥EA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAO=∠AEC，
又∵∠AOB=∠EAC=90°，
∴△AOB∽△EAC．
分析：（1）将点D的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；
（2）根据△BCD的面积为12，求出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式可得出点C的坐标，继而利用待定系数法求直线CD的解析式；
（3）设点C的坐标为（m，），求出直线CD的解析式，继而得出点E的坐标，然后判断出BD=AE，可得出四边形ABDE是平行四边形，从而得出AB∥CD，这样即可证明△AOB∽△EAC．
点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定，难点在第三问，解答此类题目注意大胆设出点的坐标，通过最终消去得解．