【题目】如图,AC为圆O的直径,弦AD的延长线与过点C的切线交于点B,E为BC中点,AC= ,BC=4.
(1)求证:DE为圆O的切线;
(2)求阴影部分面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)S阴影=4-2π
【解析】
(1)根据斜边中线等于斜边一半得到DE=CE,再利用切线的性质得到∠BCO=90°,最后利用等量代换即可证明,(2)根据S阴影=2S△ECO-S扇形COD即可求解.
(1)连接DC、DO.
因为AC为圆O直径,
所以∠ADC=90°,则∠BDC=90°,
因为E为Rt△BDC斜边BC中点,
所以DE=CE=BE=BC,
所以∠DCE=∠EDC,
因为OD=OC,
所以∠DCO=∠CDO.
因为BC为圆O 切线,
所以BC⊥AC,即∠BCO=90°,
所以∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠DCE=∠BCO=90°,
所以ED⊥OD,
所以DE为圆O的切线.
(2)S阴影=2S△ECO-S扇形COD=4-2π
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②3a+c>0;
③方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
④当y>3时,x的取值范围是0≤x<2;
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在生活中,有很多函数并不一定存在解析式,对于这样的函数,我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索,例如下面这样一个问题:
已知y是x的函数,下表是y与x的几组对应值.
x | … | ﹣5 | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 1.969 | 1.938 | 1.875 | 1.75 | 1 | 0 | ﹣2 | ﹣1.5 | 0 | 2.5 | … |
小孙同学根据学习函数的经验,利用上述表格反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.
下面是小孙同学的探究过程,请补充完整;
(1)如图,在平面之间坐标系xOy中,描出了以上表中各对应值为坐标的点,根据描出的点,画出函数的图象:
(2)根据画出的函数图象回答:
①x=﹣1时,对应的函数值y的为 ;
②若函数值y>0,则x的取值范围是 ;
③写出该函数的一条性质(不能与前面已有的重复): .
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,D为弦BC的中点,延长OD交弧BC于点E,点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC=∠OFC,
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)若四边形ACFD是平行四边形,求sin∠BAD的值.
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【题目】[问题发现]
如图①,在中,点是的中点,点在边上,与相交于点,若,则_____ ;
[拓展提高]
如图②,在等边三角形中,点是的中点,点在边上,直线与相交于点,若,求的值.
[解决问题]
如图③,在中,,点是的中点,点在直线上,直线与直线相交于点,.请直接写出的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,4),B(4,4),C(6,0).
(1)△ABC的面积是 .
(2)请以原点O为位似中心,画出△A'B'C',使它与△ABC的相似比为1:2,变换后点A、B的对应点分别为点A'、B',点B'在第一象限;
(3)若P(a,b)为线段BC上的任一点,则变换后点P的对应点P' 的坐标为 .
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【题目】如图1,是一建筑物造型的纵截面,曲线是抛物线的一部分,该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线,,是与水平线垂直的两根支柱,米,米,米.
(1)如图1,为了安全美观,准备拆除支柱、,在水平线上另找一点作为地面上的支撑点,用固定材料连接、,对抛物线造型进行支撑加固,用料最省时点,之间的距离是_________.
(2)如图2,在水平线上增添一张米长的椅子(在右侧),用固定材料连接、,对抛物线造型进行支撑加固,用料最省时点,之间的距离是_______________.
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【题目】一次函数的图像与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,二次函数图像经过点A、B,与x轴相交于另一点C.
(1)求a、b的值;
(2)在直角坐标系中画出该二次函数的图像;
(3)求∠ABC的度数.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知的半径为5,圆心的坐标为,交轴于点,交轴于,两点,点是上的一点(不与点、、重合),连结并延长,连结,,.
(1)求点的坐标;
(2)当点在上时.
①求证:;
②如图2,在上取一点,使,连结.求证:;
(3)如图3,当点在上运动的过程中,试探究的值是否发生变化?若不变,请直接写出该定值;若变化,请说明理由.
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