Question

6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E，F，M，N分别在AB，AD，DC，CB边上，连接EF，EN，NM，FM，若EF∥BD∥NM，$\frac{EN}{AC}$+$\frac{EF}{BD}$=1．
（1）求证：Rt△ABC∽Rt△EBN；
（2）当BD=EF+EN且四边形ABCD的面积为S时，判断四边形EFMN的面积最大时的形状．

Answer 1

分析 （1）首先证明$\frac{EN}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$，作EN′∥AC交BC于N′，利用同一法证明N与N′重合即可解决问题．
（2）结论：菱形．首先证明四边形MNEF是平行四边形，由S_{平行四边形MNEF}=S-（S_△DFM+S_△BEN）-（S_△AEF+S_△CMN）=S-$\frac{E{N}^{2}}{A{C}^{2}}•S$-$\frac{E{F}^{2}}{B{D}^{2}}•S$=$\frac{2EN•EF}{B{D}^{2}}$•S，可知当EF=EN时，EN•EF定值最大，即四边形MNEF的面积最大，此时四边形MNEF是菱形．

解答 （1）证明：∵EF∥BD，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵$\frac{EN}{AC}$+$\frac{EF}{BD}$=1，
∴$\frac{EN}{AC}$+$\frac{AE}{AB}$=1．
∴$\frac{EN}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$，作EN′∥AC交BC于N′，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{EN′}{AC}$=$\frac{EN}{AC}$，
∴N与N′重合，
∴EN∥AC，
∴Rt△ABC∽Rt△EBN．

（2）结论：菱形．
理由：∵BD=EF+EN，
∴EF=BD-EN，
∴$\frac{EN}{AC}$+$\frac{BD-EN}{BD}$=1，
∴$\frac{EN}{AC}$=$\frac{EN}{BD}$，
∴AC=BD，
∵EF∥BD，
∴$\frac{FD}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，
∵NE∥AC，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BN}{BC}$，
∵MN∥BD，
∴$\frac{BN}{BC}$=$\frac{DM}{DC}$，
∴$\frac{DF}{DA}$=$\frac{DM}{DC}$，
∴FM∥AC，
∵EF∥MN，
∴四边形MNEF是平行四边形，是四边形ABCD的面积为S，
则有S_{平行四边形MNEF}=S-（S_△DFM+S_△BEN）-（S_△AEF+S_△CMN）=S-$\frac{E{N}^{2}}{A{C}^{2}}•S$-$\frac{E{F}^{2}}{B{D}^{2}}•S$=$\frac{2EN•EF}{B{D}^{2}}$•S，
∵EF+EN为定值，
∴当EF=EN时，EN•EF定值最大，即四边形MNEF的面积最大，
此时四边形MNEF是菱形．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，理解两个变量和为定值，相等时积最大是难点，题目比较难．