Question

某课题学习在探讨一团周长为4a的线圈时，发现了如下两个命题：
命题1：如图①，当线圈做成正三角形ABC时，能被半径为a的圆形纸片完全盖住．
命题2：如图②，当线圈做成正方形ABCD时，能被半径为a的圆形纸片完全盖住．
请你继续探究下列几个问题：
（1）如图③，当线圈做成正五边形ABCDE时，请说明能被半径为a的圆形纸片完全盖住；
（2）如图④，当线圈做成平行四边形ABCD时，能否被半径为a的圆形纸片完全盖住请说明理由；
（3）如图⑤，当线圈做成任意形状的图形时，是否还能被半径为a的圆形纸片完全盖住？若能盖住，请通过计算说明；若不能盖住，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）为了证明其半径小于a，只需证明OA＜AB．根据它们所对的角的大小即可证明；
（2）只需证明平行四边形的四个顶点到对角线的交点的距离小于a即可．
（3）只需取曲线上两点A、B，使曲线分成相等的两部分，根据三角形第三边上的中线小于其它两边的和的一半进行证明．

解答：解：（1）在如图③中，

∵∠AOB=72°，∠OAB=∠OBA=54°．
∴∠OAB＜∠AOB，
∴OA＜AB=

4

5

a＜a．
同理OB=OC=OD=OE＜a．
∴以O为圆心，半径为a的圆完全盖住正五边形ABCDE．

（2）当线圈做成平行四边形时，能被半径为a的圆形纸片完全盖住．

其理由是：在如图④中，
∵OB+OD＜AB+AD=2a，
∴OB=OD＜a．
同理OA=OC＜a，
∴平行四边形ABCD能被以O为圆心，半径为a的圆形纸片完全盖住．

（3）当线圈做成任意形状的图形时，能被半径为a的圆形纸片完全盖住．
其理由是：在如图⑤中，取曲线上两点A、B，使曲线分成相等的两部分，连接AB，在其中一部分上任取一点C，连接AC、BC、C与AB的中点O，则有OC＜

1

2

（AC+BC）＜a．
∴当线圈做成任意形状的曲线时，都可以被半径为a的圆形半径纸片完全盖住．

点评：能够根据三角形的三边关系以及边角关系进行证明．注意：三角形一边上的中线小于其它两边的和的一半．