Question

1．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．
（1）求证：AD²=BG•DH；
（2）求证：CE=$\sqrt{2}$DG；
（3）求证：EF=$\sqrt{2}$HG．

Answer 1

分析 （1）易证∠BAG=∠AHD，∠ABD=∠ADB=45°，即可证明△ABG∽△HDA，可得$\frac{AB}{DH}=\frac{BG}{DA}$，即可得出结论；
（2）首先连接AC，由正方形ABCD，∠EAF=45゜，易证得∠ACE=∠ADN=∠CAD=45°，AC=$\sqrt{2}$AD，继而可得∠EAC=∠NAD，则可证得△EAC∽△NAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）根据两边的比相等，且夹角相等证明△GAH∽△EAF，得$\frac{EF}{GH}=\sqrt{2}$，所以EF=$\sqrt{2}$GH．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，
∵∠EAF=45°
∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，
∴∠BAG=∠AHD，
又∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴△ABG∽△HDA，
∴$\frac{AB}{DH}=\frac{BG}{DA}$，
∴BG•DH=AB•AD=AD²；

（2）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAD，
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF，
∴∠EAC=∠GAD，
∴△EAC∽△GAD，
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{2}$DG；

（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$，
同理得：△AFC∽△AHB，
∴$\frac{AF}{AH}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{AF}{AH}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{AF}{AH}$，
∵∠GAH=∠EAF，
∴△GAH∽△EAF，
∴$\frac{EF}{GH}=\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$GH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，常运用两角相等判定两三角形相似，并熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质，第三问有难度，证明△GAH∽△EAF是解题的关键．