Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=1；

【解析】

（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；

（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．

（1）连接OB，如图所示：

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CBO+∠OBA＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠C＝∠CBO，

∴∠C+∠OBA＝90°，

∵∠PBA＝∠C，

∴∠PBA+∠OBA＝90°，

即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为，

∴OB＝，AC＝2，

∵OP∥BC，

∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，

又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴，

即，

∴BC＝1．