精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图i,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上的一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.
(1)求证:AP是半圆O的切线;
(2)当其它条件不变时,问添加一个什么条件后,有BD2=BE•BC成立?说明理由;
(3)如图ii,在满足(2)问的前提下,若OD⊥BC与H,BE=2,EC=4,连接PD,请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形,并求tan∠DPC的值.

【答案】分析:(1)证∠PAC=90°即可;
(2)使BD2=BE•BC成立,即要证△BDE∽△BDC,应有∠D=∠BCD,则应该添加弧BD=弧AB;
(3)证得AB与OD平行且相等,就有四边形ABDO是平行四边形,又AO=OD,有四边形ABDO是菱形,利用锐角三角函数的概念和直角三角形的性质求得PB和PH值即可.
解答:(1)证明:∵∠D与∠C对同一弧,
∴∠D=∠C.
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°.
∴∠C+∠BAC=90°.
∵∠BAP=∠BDA,
∴∠PAB+∠BAC=90°.
即∠PAC=90°.
故AP是圆的切线.

(2)解:添加弧BD=弧AB.
∵弧AB=弧BD,
∴∠D=∠BCD.
∵∠DBE=∠DBC,
∴△BDE∽△BDC.
∴BD:BC=BE:BD.
即BD2=BE•BC.

(3)解:∵AC是半圆的直径,OD⊥BC,
∴∠ABC=∠OHC=90°,OD∥AB.
∵OD⊥BC,
∴点D是弧BC的中点.
∴AD是∠BAC的平分线.
∴AB:BE=AC:CE.
∴AB:AB=BE:CE=2:4=1:2.
∴AC=2AB.
∵AC=2AO=2OD,
∴AB=OD.
即AB与OD平行且相等,
∴四边形ABDO是平行四边形.
∵AO=OD,
∴四边形ABDO是菱形.
∵sinC=AB:AC=1:2,
∴∠C=30°,OD=AB,AB=2,AC=4,AP=ACtan30°=4.
∵点O,H分别是AC,BC的中点,
∴OH=AB=,DH=OD-OH=
∵PA是切线,PBC是割线,
∴PA2=PB•PC=PB(PB+BC).
∴PB=2.
∴PH=PB+BH=5.
∴tan∠DPC=DH:PH=
点评:本题考查圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,角的平分线定理,平行四边形和菱形的判定等知识点的综合运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为
BC
上的一动点.
(1)问添加一个什么条件后,能使得
BD
BC
=
BE
BD
?请说明理由;
(2)若AB∥OD,点D所在的位置应满足什么条件?请说明理由;
(3)如图2,在(1)和(2)的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形?证明你的结论.精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图i,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧
BC
上的一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.
(1)求证:AP是半圆O的切线;
(2)当其它条件不变时,问添加一个什么条件后,有BD2=BE•BC成立?说明理由;
(3)如图ii,在满足(2)问的前提下,若OD⊥BC精英家教网与H,BE=2,EC=4,连接PD,请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形,并求tan∠DPC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:第26章《圆》常考题集(20):26.4 圆周角(解析版) 题型:解答题

如图1,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为上的一动点.
(1)问添加一个什么条件后,能使得?请说明理由;
(2)若AB∥OD,点D所在的位置应满足什么条件?请说明理由;
(3)如图2,在(1)和(2)的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形?证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:第4章《相似三角形》常考题集(10):4.3 两个三角形相似的判定(解析版) 题型:解答题

如图1,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为上的一动点.
(1)问添加一个什么条件后,能使得?请说明理由;
(2)若AB∥OD,点D所在的位置应满足什么条件?请说明理由;
(3)如图2,在(1)和(2)的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形?证明你的结论.

查看答案和解析>>

同步练习册答案