Question

17．如图，已知点A（5，0），B（0，5），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD=45°，ED=2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式，如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）由条件可求得E点坐标，则可求得F点的坐标，利用三角形中位线定理可求得G点坐标，则可求得反比例函数解析式；
（3）可设出F点坐标，则可表示出G点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

解答 解：
（1）设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{5a+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+5；
（2）∵A（5，0），
∴OA=5，
当D与A重合时，则OE=OD-DE=5-2=3，
∵∠EFD=45°，
∴EF=DE=2，
∵F（3，2），D（5，0），
∵G为DF的中点，
∴G（4，1），
∴k=4×1=4，
∴经过点G的反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（3）设F（t，-t+5），
则D点横坐标为t+2，代入直线AB解析式可得y=-（t+2）+5=-t+3，
∴D（t+2，-t+3），
∵G为DF中点，
∴G（t+1，-t+4），
若反比例函数同时过G、F点，则可得t（-t+5）=（t+1）（-t+4），
解得t=2，此时F点坐标为（2，3），
设过F、G的反比例函数解析式为y=$\frac{s}{x}$，则s=2×3=6，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，其函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得G点坐标是解题的关键，注意中点坐标的求法，在（3）中用t分别表示出F、G的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．