Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．
求证：（1）BE=BC；
（2）AE²=AC•EC．

Answer 1

分析：（1）由于AB=AC，∠A=36°，根据三角形内角和定理可求∠ABC=∠C=72°，而DE是AB的中垂线，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=36°，那么∠EBC=36°，再利用三角形内角和定理可求∠CEB=72°，于是BE=BC；
（2）由于∠A=∠EBC=36°，∠C=∠C，可证△ABC∽△BCE，那么AB：BC=BC：CE，而AB=AC，BC=BE=AE，等量代换易得AE²=AC•CE．

解答：证明：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的中垂线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=36°，
∴∠EBC=36°，
∴∠CEB=72°，
∴∠CEB=∠C，
∴BE=BC；

（2）∵∠A=∠EBC=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴AB：BC=BC：CE，
∵AB=AC，BC=BE=AE，
∴AC：AE=AE：CE，
∴AE²=AC•CE．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是求出相应角的度数，根据等角对等边易求边的相等．