Question

已知抛物线y=x²+mx-2m²（m≠0）．
（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m、n，使得AP=2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：△=m²-4×1×（-2m²）=9m²，
∵m≠0，∴△＞0，
∴该抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）解：由题意易知：点A、B的坐标满足方程：x²+mx-2m²=n，即x²+mx-（2m²+n）=0
由于方程有两个不相等的实数根，
因此△＞0，即m²-4×1×[-（2m²+n）]＞0?9m²+4n＞0，①
由求根公式可知两根为：，，
∴，
，
分两种情况讨论：
第一种：如图1，点A在点P左边，点B在点P的右边
∵AP=2PB
∴AB=3PB
∴．②
∴m＞0．③
由②式可解得n=0．④
第二种：如图2，点A、B都在点P左边
∵AP=2PB
∴AB=PB
∴．⑤
∴m＞0．⑥
由⑤式可解得n=-m²．⑦
综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P存在，此时m、n应满足条件：m＞0，n=0或n=-m²．
分析：（1）要证抛物线与x轴有两个不同的交点，实际上就是一元二次方程x²+mx-2m²=0有两个不相等的实数根，只要证出b²-4ac＞0即可；
（2）根据题意易知点A、B的坐标必须满足的方程，根据根与系数的关系，可得AB与PB的关于m的关系式，根据AB的位置不同，分两种情况讨论，并解出m的值．
点评：命题立意：考查二次函数与一元二次方程的关系．此题综合性强，难度较大，解决的关键是将二次函数问题转化为一元二次方程问题，然后求解．