Question

如图，在△OBC中，∠OBC=90°，以O为圆心，OB为半径与BO的延长线交于点E，过点E作ED∥OC交于D点，直线CD、BE交于点A．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若半径为3，DC=6，求AE的长．

Answer 1

解：（1）直线AC与⊙O相切．理由如下：
连接OD，
∵ED∥OC，
∴∠DOC=∠ODE，∠BOC=∠OED，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴直线AC是⊙O的切线；

（2）∵△BOC≌△DOC，
∴∠BCO=∠DCO，BD⊥OC，
∵∠OBD+∠BOC=∠BOC+∠OCB=90°，
∴∠OBD=∠OCD，
∴tan∠OBD=tan∠OCD，
即，
∵∠ADE+∠ODE=∠ABD+∠OED=90°，∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ABD，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
设AE=x，则AD=2x，AO=3+x，
在Rt△ODA中，OD²+AD²=AO²，
即3²+（2x）²=（x+3）²，
解得：x=2，
即AE=2．
分析：（1）首先连接OD，易证得△BOC≌△DOC，然后由全等三角形的对应角相等，即可证得∠ODC=∠OBC=90°，即可得直线AC是⊙O的切线；
（2）由△BOC≌△DOC，易证得∠OBD=∠OCD，可得tan∠OBD=tan∠OCD，易证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，设AE=x，可得AD=2x，AO=3+x，然后由勾股定理即可求得AE的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．