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    15．已知反比例函数的两支图象关于原点对称，利用这一结论解集下列问题：如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）．
    （1）填空：无论k值取何值时，四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
    （2）①当m=2，点B坐标为（p，1）时，四边形ABCD的形状一定是矩形；
    ②填空：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；
    （3）四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

    分析 （1）根据对称的性质可得四边形ABCD的对角线互相平分，则一定是平行四边形；
    （2）①把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求得p的值，利用待定系数法求得k的值，利用勾股定理求得OB的值，从而得出OA=OB=OC，得出∠ABC=90°；
    ②根据反比例函数图象的对称性，在反比例函数图象上，连线经过O，且连线等于AC的一定有两组，据此即可判断；
    （3）根据四边形ABCD的对角线一定不能垂直即可判断．

    解答 解：（1）根据对称性可得：OB=OD，
    ∵A（-m，0），C（m，0），
    ∴OA=OC
    ∴四边形ABCD是平行四边形．
    故答案是：平行四边形；

    （2）①∵点B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
    ∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，解得p=$\sqrt{3}$把B（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∵OB2=（$\sqrt{3}$）2+12=4，
    ∴OB=2．
    ∵m=2，
    ∴OA=OC=2，
    ∴OA=OB=OC=2，
    ∴∠ABC=90°，
    由（1）有，四边形ABCD是平行四边形，
    ∴平行四边形ABCD是矩形；
    故答案为矩形；

    ②由①得，m=2，
    如图，作出第一、三象限的角的平分线，交反比例函数图象于点M、N．则MN的解析式是y=x．
    当x=m=2时，反比例函数上对应的点是（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直线y=x上对应的点是（2，2）．
    ∵2＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
    ∴（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在OM的延长线上，即MN＜AC．
    则能使四边形ABCD是矩形的点B共有2个，
    故答案是：2；
    （3）四边形ABCD不能是菱形．
    理由是：∵A（-m，0）、C（m，0），
    ∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上，
    又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点，
    ∴对角线BD和AC不可能垂直．
    ∴四边形ABCD不可能是菱形．

    点评 本题考查了反比例函数的图象的对称性以及菱形的判定，正确理解正比例函数与反比例函数关于原点对称是关键．

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