Question

如图，AB=AC=AD，BD平分∠ABC交AC于E，∠BAC=36°．
（1）直接写出图中的所有等腰三角形；
（2）若AB=m，BC=n，求CE与BD的长．（用含有m，n的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）求出各个角的度数，根据等腰三角形的判定即可得出等腰三角形有△ABC，△ABD，△ADE，△BEC；
（2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出各个角的度数，根据等腰三角形的判定得出AD=DE，BE=BC，即可求出BD，证△CBE∽△CAB即可求出CE．

解答：解：（1）等腰三角形有△ABC，△ABD，△ADE，△BEC；
（2）∵∠BAC=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBE=

1

2

∠ABC=36°，
∴∠AED=∠BEC=180°-∠C-∠DBC=72°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD=36°，
∴∠DAE=180°-36°-72°=72°=∠AED，
∴AD=DE=m，
∵BE=BC=n，AB=AD=m，
∴BD=BE+DE=n+m；
∵∠C=∠C，∠CBE=∠BAC=36°，
∴△CBE∽△CAB，
∴

CE

BC

=

BC

AB

，
∴

CE

n

=

n

m

，
CE=

n2

m

，
即BD=n+m，CE=

n2

m

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定鞥知识点的综合运用，本题综合性比较强，有一定的难度．