Question

16．如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③b²-4ac＞0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁；
⑥方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根．
其中正确的有①③⑤⑥．

Answer 1

分析 ①利用对称轴x=1判定；
②根据图象确定a、b、c的符号；
③根据抛物线与x轴交点的个数确定；
④根据对称性判断；
⑤由图象得出，在1＜x＜4时，抛物线总在直线的上面，则y₂＜y₁；
⑥方程ax²+bx+c=3的根，就是图象上当y=3是所对应的x的值．

解答 解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x=1，则-$\frac{b}{2a}$=1，2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故②不正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
故③正确；
④因为抛物线对称轴是：x=1，B（4，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（-2，0），
故④不正确；
⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y₂＜y₁；故⑤正确；
⑥∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，
故⑥正确；
则其中正确的有：①③⑤⑥；
故答案为：①③⑤⑥．

点评 本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值，即b²-4ac的值：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x轴的另一交点．