Question

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P,连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F.
 
（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在      关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面
积为S，求S关于x的函数关系式.

Answer 1

（1） 相似。理由见解析（2）存在，α=2β+60°（3）

解:（1） 相似   …………………………………………………………1分
由题意得：∠APA₁=∠BPB₁=α   AP= A₁P BP=B₁P
则 ∠PAA₁ =∠PBB₁ = ……………………………2分
∵∠PBB₁ =∠EBF       ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP………………………………………………………3分
（2）存在，理由如下： ………………………………………………………4分
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可 …………………5分
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60°      ∴∠BAE=
∵∠ABE=β  ∠BAE=∠ABE    ………………………………6分
∴ 即α=2β+60°    ………………………………7分
（3）连结BD，交A₁B₁于点G，
过点A₁作A₁H⊥AC于点H.
∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60°∴A₁B₁∥AC
由题意得：AP= A₁ P  ∠A=60°
∴△PAA₁是等边三角形
∴A₁H= ………………………8分
在Rt△ABD中，BD=
∴BG=……………………………… 9分
∴ （0≤x＜2）………………10分
（1）通过三角形的相似性求证
（2）由（1）得△BEF ∽△AEP，若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE，即∠BAE=∠ABE，求得∠BAE的度数的表示，即可求出α与β之间的数量关系
（3）连结BD，交A₁B₁于点G，过点A₁作A₁H⊥AC于点H.由已知求得△PAA₁是等边三角形，在Rt△ABD中，求得BG的长，从而通过三角形的面积，即可求得S关于x的函数关系式