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(2010•赤峰)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(3,-3),与x轴的一个交点为B(1,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)P是y轴上一个动点,求使P到A、B两点的距离之和最小的点P的坐标.
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为C.在抛物线上是否存在点M,使得△MBC的面积等于以点A、P、B、C为顶点的四边形面积的三分之一?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)已知了抛物线的顶点坐标,可将其解析式设为顶点坐标式,然后将B点坐标代入其中,即可求得该抛物线的解析式.
(2)取B点关于y轴的对称点B′,其坐标易得,那么直线AB′与y轴的交点即为所求的P点,可先求出直线AB′的解析式,进而可求出P的坐标.
(3)根据抛物线的解析式,易求得C点坐标,进而可由△B′AC、△B′PB的面积差求出四边形APBC的面积,进而可得到△BCM的面积,BC的长已求得,根据其面积可求出M点的纵坐标绝对值,将其代入抛物线的解析式中即可求出M点的坐标.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-3)2-3,依题意有:
a(1-3)2-3=0,a=
∴该抛物线的解析式为:y=(x-3)2-3=x2-x+

(2)设B点关于y轴的对称点为B′,则B′(-1,0);
设直线AB′的解析式为y=kx+b,则有:

解得
∴y=-x-
故P(0,-).

(3)由(1)的抛物线知:
y=x2-x+=(x-1)(x-5),
故C(5,0);
∵S四边形AP0BC=S△AB′C-S△BB′P0
=×6×3-×2×=
∴S△BCM=S四边形AP0BC=
易知BC=4,则|yM|=
当M的纵坐标为时,x2-x+=
解得x=3+,x=3-
当M的纵坐标为-时,x2-x+=-
解得x=3+,x=3-
故符合条件的M点有四个,它们的坐标分别是:
M1(3+),M2(3-),M3(3+,-),M4(3-,-).
点评:此题考查的知识点有:二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径问题、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等,综合性强,难度中上.
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