Question

【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

请解决下列问题：

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN>MN>AM.若AM=2，MN=3，求BN的长；

（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE>BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；

（2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2，得出NG2=FM2+MN2，即可得出结论

试题解析：(1)∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN>MN>AM, AM=2，MN=3

∴

∴BN=

(2)证明 ∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点

∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG

∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE>BD

∴

∴

∴

∴点M，N是线段FG的勾股分割点