Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为R.

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝R².（提示：作直径FQ交⊙O于Q，并连结DQ）

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ

∵FQ是⊙O直径

∴∠FDQ＝90° 

∴∠QFD＋∠Q＝90°  

∵CD⊥AB

∴∠P＋∠C＝90°

∵∠Q＝∠C

∴∠QFD＝∠P 

∵∠FOE＝∠POF

∴△FOE∽△POF

∴

∴OE·OP＝OF²＝R²；

（2）成立

【解析】

试题分析：（1）连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．先根据同角的余角相等得到∠QFD=∠P，再结合公共角即可证明△FOE∽△POF，然后根据相似三角形的性质即可得到结果；

（2）依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．根据圆周角定理及等角的余角相等可得∠CFM=∠E，再结合公共角即可证明△FOE∽△POF，然后根据相似三角形的性质即可得到结果．

（1）连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ. 

∵FQ是⊙O直径

∴∠FDQ＝90° 

∴∠QFD＋∠Q＝90°  

∵CD⊥AB

∴∠P＋∠C＝90°

∵∠Q＝∠C

∴∠QFD＝∠P 

∵∠FOE＝∠POF

∴△FOE∽△POF

∴

∴OE·OP＝OF²＝R²； 

（2）如图，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM

∵FM是⊙O直径

∴∠FCM＝90°

∴∠M＋∠CFM＝90°

∵CD⊥AB

∴∠E＋∠D＝90°

∵∠M＝∠D

∴∠CFM＝∠E

∵∠POF＝∠FOE

∴△POF∽△FOE

∴

∴OE·OP＝OF²＝R².

考点：本题考查的是相似三角形的性质与判定、垂径定理，圆周角定理

点评：解答本题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角；同角或等角的余角相等；同时熟记相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，同时注意对应字母写在对应位置上.