Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，
延长DE到点F，使得EF=DE，连接AF，CF．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=8，∠BAC=30°，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）首先证明AE=CE，DE=EF，推出四边形ADCF是平行四边形，再根据AC⊥DF，推出四边形ADCF是菱形；
（3）求出菱形的对角线的长即可解决问题．

解答 （1）解：补全图形如图所示．


（2）证明：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∵AD=DB，
∴AE=EC，∵ED=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．

（3）解：在Rt△ACB中，∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，AC=$\sqrt{3}$BC=4$\sqrt{3}$，
∵AE=EC，AD=DB，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DF=2DE=4，
∴S_菱形ADCF=$\frac{1}{2}$•AC•DF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．