Question

(1)如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=6cm，求AC的长．

(2)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，O、M分别是AC、BD的中点，过点C作CN∥AM交MO的延长线于点N．

求证：四边形AMCN是菱形

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：因为四边形ABCD为矩形． 所以AC=BD，AO=BO=CO=DO． 因为∠A0D=120°，所以∠AOB=60°， 所以△AOB为等边三角形． 所以AO=AB=6cm，所以AC=2AO=12cm． (2)证明：由AM∥CN，OA=OC，∠AOM=∠CON，得△AOM和△CON关于O点中心对称，所以AM=CN．又因AM∥CN，所以四边形AMCN是平行四边形，又在Rt△ABD中，AM是斜边BD上的中线，即得．同理可得，故AM=CM，所以平行四边形AMCN是菱形．

提示：

(1)矩形的两条对角线的夹角为60°，则矩形被对角线分成的四个三角形中有两个是等边三角形． 矩形的对角线把矩形分成了四个等腰三角形． (2)要证AMCN是菱形，首先看适合哪一种判定方法，题中已给出CN∥AM，而O又是AC的中点，得△AOM和△CON关于O点中心对称，得AM=CN，即四边形AMCN是平行四边形．再证一组邻边相等是问题的关键，而AM、CM分别是Rt△ABD和Rt△BCD斜边BD上的中线，所以，问题即可证明． 应注意到四边形ABCD是由两个有公共斜边BD的直角三角形组成的．且AM、CM是它们公共斜边BD上的中线，因此AM=CM．