Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．有下列四个结论：
（1）DE=DF；（2）AD上任意一点到点B、C的距离相等；（3）BD=CD，AD⊥BC；（4）∠BDE=∠CDF．
其中正确的结论有个．

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

A
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，判断出（1）正确；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断出（2）正确；根据等腰三角形三线合一的性质判断出（3）正确；利用“HL”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CDF，判断出（4）正确．
解答：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，故（1）正确；
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故（3）正确；
即直线AD是BC的垂直平分线，
∴AD上任意一点到点B、C的距离相等，故（2）正确；
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴∠BDE=∠CDF，故（4）正确；
综上所述，正确的结论有（1）（2）（3）（4）共4个．
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．