Question

（2012•南昌）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，
tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）

Answer 1

分析：（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可；
（2）首先作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，利用cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，即可得出∠OEF的度数；
（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．

解答：（1）证明：证法一：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD…1分
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD），
同理可证：∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，…2分
∴AC∥BD，…3分
 证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，
∴

OA

OB

=

OC

OD

=

3

5

…1分
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD；…2分
∴AC∥BD…3分；

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；…4分
∴cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，…5分
用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分；

（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分
在Rt△OEM中，OM=

OE2-EM2

=

342-162

=30cm…8分，
过点A作AH⊥BD于点H，
同（1）可证：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，
∴

OE

AB

=

OM

AH

，AH=

OM•AB

OE

=

30×136

34

=120cm…9分
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．小红的连衣裙会拖落到地面．
解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分
同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8分
过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中
sin∠ABD=

AH

AB

，
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．小红的连衣裙会拖落到地面．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．