Question

8．如图，抛物线y=ax²-4x的图象与x轴的一个交点为A（6，0），点B为抛物线的顶点，连结OB、AB，作OC⊥OB交BA的延长线于点C．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）设过原点O的直线交抛物线于点P，且满足∠AOP=∠ABO，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，则可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得B点坐标；
（2）由A、B坐标可求得直线AC的解析式，可设出C点坐标，过C作CE⊥y轴于点E，过B作BD⊥y轴于点D，可证明△COE∽△OBD，则可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；
（3）当点P在第一象限时，过P作PM⊥x轴于点M，在Rt△BOC中可求得∠ABO的正切值，则可求得PM与OM的关系，可设出P点坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；当点P在第四象限时，过点P作PN⊥x轴于点N，同理可设出P点坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．

解答 解：
（1）把A（6，0）代入抛物线解析式可得0=36a-24，解得a=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-4x=$\frac{2}{3}$（x-3）²-6，
∴顶点B的坐标为（3，-6）；
（2）设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（6，0），B（3，-6）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x-12，
∴可设C（x，2x-12），
如图1，过C作CE⊥y轴于点E，过B作BD⊥y轴于点D，

则CE=x，OE=2x-12，且BD=3，OD=6，
∵∠BDO=∠BOC=∠CEO=90°，
∴∠BOD+∠COE=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
∴△COE∽△OBD，
∴$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{2x-12}{3}$，解得x=8，
∴C（8，4）；
（3）当点P在第一象限时，如图2，过P作PM⊥x轴于点M，

∵B（3，-6），C（8，4），
∴OB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠BOC=90°，
∴tan∠ABO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AOP=$\frac{PM}{OM}$=$\frac{4}{3}$，
∴可设P点坐标为（3m，4m），
把P点坐标代入抛物线解析式可得4m=$\frac{2}{3}$（3m）²-4•3m，解得m=0（舍去）或m=$\frac{8}{3}$，
∴点P的坐标为（8，$\frac{32}{3}$）；
当点P在第四象限时，过P作PN⊥x轴于点N，如图3，

同理可设P点坐标为（3n，-4n），代入抛物线解析式可得-4n=$\frac{2}{3}$（3n）²-4×3n，解得n=0（舍去）或n=$\frac{4}{3}$，
∴P点坐标为（4，-$\frac{16}{3}$）；
综上可知，符合题意的点P有两个，其坐标为（8，$\frac{32}{3}$）或（4，-$\frac{16}{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数的定义及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数示的应用，在（2）中构造相似三角形，得到关于C点坐标的方程是解题的关键，在（3）中确定出∠AOP的正切值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．