Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，将矩形的一个角沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 轴交于点 .

（1）求直线所对应的函数表达式；

（2）若点 在线段上，在线段 上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=2x-10；（2）存在点，Q（，）， 使以为顶点的四边形为平行四边形.

【解析】

（1）由矩形的性质可得出点B的坐标及OA，AB的长，利用勾股定理可求出OB的长，设AD=a，则DE=a，OD=8-a，OE=OB-BE=10-6=4，利用勾股定理可求出a值，进而可得出点D的坐标，再根据点B，D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD所对应的函数表达式；

（2）先假设存在点P 满足条件，过E作 交BC于P作，交BD 于Q点，这样得到点Q，四边形 即为所求平行四边形，过E作 得 ， 可得E点坐标， 根据点B、E坐标求出直线BD的解析式， 又 根据平行的直线，k值相等，求出PE解析式， 再求点出P坐标，从而求解.

（1）由题意，得：点B的坐标为（8，6），OA=8，AB=OC=6，
∴OB= =10．
设AD=a，则DE=a，OD=8-a，OE=OB-BE=10-6=4．
∵OD2=OE2+DE2，即（8-a）2=42+a2，
∴a=3，
∴OD=5，
∴点D的坐标为（5，0）．
设直线BD所对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将B（8，6），D（5，0）代入y=kx+b，得：

解得： ∴直线BD所对应的函数表达式为y=2x-10．

（2）如图2，假设在线段 上存在点P 使 为顶点的四边形为平行四边形，过E作 交BC于P，过点P作，交BD 于Q点，四边形 即为所求平行四边形，过E作 得 ，，

，

直线 ，

又 ， ，

，在线段上存在点P（5，6），

使以为顶点的四边形为平行四边形，

∵，设点Q的坐标为（m，2m-10），四边形DEPQ为平行四边形，

D（5，0），，点P的纵坐标为6，
∴6-（2m-10）=-0，解得：m=，
∴点Q的坐标为（，）．
∴存在，点Q的坐标为（，）．