Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax²+bx+2得，

，

解得，

所以，抛物线的解析式为y=x²﹣x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=，

∵四边形OECF是平行四边形，

∴点C的横坐标是×2=5，

∵点C在抛物线上，

∴y=×5²﹣×5+2=2，

∴点C的坐标为（5，2）；

（3）设OC、EF的交点为D，

∵点C的坐标为（5，2），

∴点D的坐标为（，1），

①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，

∴=，

即=，

解得PE=，

所以，点P的坐标为（，﹣）；

②点C是直角顶点时，同理求出PF=，

所以，PE=+2=，

所以，点P的坐标为（，）；

③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC==，

∵PD是OC边上的中线，

∴PD=OC=，

若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，

此时，点P的坐标为（，），

若点P在OC的下方，则PE=PD﹣DE=﹣1，

此时，点P的坐标为（，），

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．