Question

如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x²+3x图象的对称轴交于点B．
（1）写出点B的坐标

 

；
（2）已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：（1）由y=-x²+3x可知图象的对称轴为x=-

3

2×(-1)

=

3

2

，将x=

3

2

代入y=-2x中，可求B点坐标；
（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+3x的对称轴为x=-

3

2×(-1)

=

3

2

，
∴当x=

3

2

时，y=-2x=-3，即B点（

3

2

，-3）；

（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=

5

a．
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
当∠CDP=90°时，

若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=

5

2

a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x²+3x，
根据题意得：

x2+(-x2+3x-2a) 2=( 5 a 2 ) 2 ( 5 a) 2+( 5 a 2 )2=(-x2+3x) 2+(x-a)2

，
解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
则P的坐标是：（

1

2

，

5

4

），
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
当∠DCP=90°时，

若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（

11

4

，

11

16

），若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（

13

5

，

26

25

）．
故答案为：（2，2），（

1

2

，

5

4

），（

11

4

，

11

16

），（

13

5

，

26

25

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用平行线的解析式之间的关系，相似三角形的判定与性质，分类求解．