Question

16．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题
（1）∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；
（3）∠PBH=45°；
（4）BP=BH．
其中正确的命题是（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）由△ABP≌△QBP，△BCH≌△BQH，从而可得到∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，从而可知∠PBQ+∠QBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°；
（4）∠PBH=45°固定不变，当点P在AD上移动时，∠BPH的度数不断发生变化，∠BPH的度数与∠BHP不一定相等，故BP与BH不一定相等．

解答 （1）证明：如图1，

∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；
（2））△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠BPH}\\{∠A=∠BQP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；
（3）解：∵△ABP≌△QBP（AAS）、△BCH≌△BQH．
∴∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，
∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°．故（3）正确；
（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，
∴当点P在AD上移动时，∠BPH的度数不断发生变化，
∴∠BPH的度数与∠BHP不一定相等，故BP与BH不一定相等．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评 本题主要考查的是折叠的性质和全等三角形的性质和判定，证得△ABP≌△QBP（AAS）、△BCH≌△BQH是解题的关键．