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6.如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC上,且AE=CF,作EG∥FH,分别与对角线BD交于点G、H,连接EH、FG.
(1)求证:△BFH≌△DEG;
(2)连接DF,若BF=DF,判断四边形EGFH是什么特殊四边形?并证明你的结论.

分析 (1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,OB=OD,由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG,∠OHF=∠OGE,得出∠BHF=∠DGE,求出BF=DE,由AAS即可得出结论;
(2)先证明四边形EGFH是平行四边形,再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH,即可得出四边形EGFH是菱形.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,OB=OD,
∴∠FBH=∠EDG,
∵AE=CF,
∴BF=DE,
∵EG∥FH,
∴∠OHF=∠OGE,
∴∠BHF=∠DGE,
在△BFH和△DEG中,$\left\{\begin{array}{l}{∠FBH=∠EDG}&{\;}\\{∠BHF=∠DGE}&{\;}\\{BF=DE}&{\;}\end{array}\right.$,
∴BFH≌△DEG(AAS);
(2)解:四边形EGFH是菱形;理由如下:
连接DF,如图所示:
由(1)得:BFH≌△DEG,
∴FH=EG,
又∵EG∥FH,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵BF=DF,OB=OD,
∴EF⊥BD,
∴EF⊥GH,
∴四边形EGFH是菱形.

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,菱形的判定,等腰三角形的性质,平行四边形的性质和判定等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

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