Question

4．如图，四边形ABCD为平行四边形，在BC上取一点E，连接AE，∠ABC=∠DAE．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为13cm/s，沿A-D-A运动时的速度为8cm/s．点Q从点B出发沿BC方向运动，运动速度为5cm/s，P，Q两点同时从点B出发，当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），连接PQ，已知AB=26cm，BC=40cm，点A到边BC的距离为24cm．
（1）求证：AB=AE；
（2）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长；（用含t的代数式表示）；
（3）当点P沿B-A-D-A运动t₀秒时，四边形PDCQ有可能成为平行四边形吗？如果可能，求出t₀的值；如果不可能，请说明理由；
（4）连接AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点A，B，D不重合时．记△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质得：AD∥BC，再由平行线性质得：∠DAE=∠AEB，从而得AB=AE；
（2）先计算点P在走完AB所用的时间：26÷13=2s，点P走完AD时所用的时间：40÷8=5s，分别写出点P在线段AD上时和线段DA上时对应的AP的长；
（3）根据AD∥BC可知：只要PD=CQ，则四边形PDCQ就能成为平行四边形，因此将点P在三条线段上运动时，分三种情况进行讨论：分别表示PD和CQ的长，列式计算可求出结果；
（4）分两种情况计算：当0＜t＜2时，如图2，S=$\frac{1}{2}$AP•QF；当2＜t＜7时，如图3，S=$\frac{1}{2}$AP×24；分别代入计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠ABC=∠DAE，
∴∠ABC=∠AEB，
∴AB=AE；
（2）点P从B到A时，t=$\frac{26}{13}$=2s，
点P从A到D时，t=$\frac{40}{8}$=5s，
当点P从点A到D时，AP=8（t-2）=8t-16，
当点P从D到A时，AP=40-8（t-2-5）=-8t+96；
（3）∵AD∥BC，
∴当四边形PDCQ是平行四边形时，满足PD=CQ，
①当0＜t＜2时，点P在线段AB上，不存在四边形PDCQ为平行四边形，
②当2≤t≤7时，点P在线段AD上，且P从A→D运动，
此时AP=8t-16，BQ=5t，
∴PD=40-（8t-16），QC=40-5t，
∴40-（8t-16）=40-5t，
t₀=$\frac{16}{3}$，
③当7＜t≤12时，点P在线段AD上，且P从D→A运动，
此时，AP=96-8t，PD=40-（96-8t），
∴40-（96-8t）=40-5t，
t₀=$\frac{96}{13}$，
综上所述，当t₀=$\frac{16}{3}$s或$\frac{96}{13}$s时，四边形PDCQ能成为平行四边形；
（4）当0＜t＜2时，如图2，
此时AP=26-13t，BQ=5t，
过Q作QF⊥AB于F，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•QF=$\frac{1}{2}$BQ×24，
26QF=5t×24，
QF=$\frac{60}{13}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•QF=$\frac{1}{2}$（26-13t）$•\frac{60}{13}t$=-30t²+60t，
当2＜t＜7时，如图3，
S=$\frac{1}{2}$AP×24=$\frac{1}{2}$×（8t-16）×24=96t-192；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-30{t}^{2}+60t（0＜t＜2）}\\{96t-192（2＜t＜7）}\end{array}\right.$．

点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了平行四边形、动点问题和三角形的面积，注意动点线段的表示方法，同时也考查了学生对知识的综合运用能力．