Question

5．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，若直线BC绕B点逆时针旋转15°交DE于F点，则BF的值为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作EH⊥BF于H，FQ⊥BC于Q，如图，先判定△CDE为等腰直角三角形得到∠CED=45°，则△EQF为等腰直角三角形，所以EF=$\sqrt{2}$EQ=$\sqrt{2}$FQ，再利用旋转的性质得∠CBF=15°，则∠BFE=30°，设HE=x，所以FE=2HE=2x，FQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$x，然后证明Rt△BEH∽Rt△BFQ，于是利用相似比可求出BF的长．

解答 解：作EH⊥BF于H，FQ⊥BC于Q，如图，
∵AB=2，BC=4，E为BC的中点，
∴CD=CE=2，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
∴△EQF为等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$EQ=$\sqrt{2}$FQ，
∵直线BC绕B点逆时针旋转15°交DE于F点，
∴∠CBF=15°，
而∠FEQ=∠EBF+∠BFQ，
∴∠BFE=45°-15°=30°，
设HE=x，
在Rt△FEH中，FE=2HE=2x，
∴FQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$x，
∵∠EBH=∠FBQ，
∴Rt△BEH∽Rt△BFQ，
∴BE：BF=HE：FQ，即2：BF=x：$\sqrt{2}$x，
∴BF=2$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．