Question

利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的

1

2

、

1

4

、

1

8

…

1

512

，根据图示我们可以知道

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

512

的值，请你利用上面的方法计算

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=

 

．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类,规律型：数字的变化类

专题：

分析：根据题意画出图形，依次取正方形面积的

2

3

，

2

9

，

2

27

…找出规律即可．

解答：解：∵第一次取走

1

2

后还剩，即

1

2

=1-

1

2

；
前两次取走

1

2

+

1

4

后还剩

1

4

，即

1

2

+

1

4

=1-

1

4

；
前三次取走

1

2

+

1

4

+

1

8

后还剩

1

8

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

；
∴前n次取走后，还剩

1

2n

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=1-

1

2n

；
∴如图所示：

由图可知：算

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=1-

1

3n

．
故答案为：1-

1

3n

．

点评：本题考查了图形的变化类问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．