Question

半径为R的⊙O₁和半径为r的⊙O₂外切于点P，AB为两圆的外公切线，切点为A、B，连心线O₂O₁交圆⊙O₁于C，交⊙O₂于D，CA与DB的延长线相交于Q．若R=3r，求∠ABQ的度数．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：连接AO₁，BO₂，过O₂作O₂E⊥AO₁于E，求出O₁O₂=2O₁E，求出∠EO₂O₁=30°，求出∠BO₂D=60°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求出∠BPD=∠PBO₂=30°，求出∠ABQ=∠MBD=∠BPD=30°即可．

解答：
解：连接AO₁，BO₂，过O₂作O₂E⊥AO₁于E，
则O₁E=3r-r=2r，O₁O₂=r+3r=4r，
所以O₁O₂=2O₁E，
∵∠O₂EO₁=90°，
∴∠EO₂O₁=30°，
∵∠EO₂B=90°，
∴∠BO₂D=60°，
∵PO₂=BO₂，
∴∠BPD=∠PBO₂=30°，
∵AB切⊙O₂于B，
∴∠ABQ=∠MBD=∠BPD=30°．

点评：本题考查了相切两圆的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，切线的性质的应用，题目比较好，综合性比较强．