Question

某产品每件的成本是120元，为了解市场规律，试销阶段按两种方法进行销售，结果如下：
方案甲：保持每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；

x （元）	130	150	160
y （件）	70	50	40

方案乙：不断地调整售价，此时发现日销售量y（件）是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：
（1）如果方案乙中的第四天、第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？
（2）分析两种方案，为获得最大日销售利润，每件产品的售价应写为多少元此时，最大日销售利润S是多少？（注：销售利润=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．

Answer 1

分析：（1）由图中表格的日销量y和售价x值的变化，可知方案乙的日销售量y和售价x之间为一次函数的关系，利用待定系数法，可将此函数关系式求出，再根据销售利润=销售额-成本额，将方案甲和乙的销售利润求出，进行比较，可知何种方案销售总利润大；
（2）将方案甲和乙的日利润表达式求出，可将日销售利润最大时的x值求出．

解答：解：（1）设方案乙中的一次函数解析式为y=kx+b，
∴

70=130k+b 50=150k+b

，
解得k=-1，b=200，
∴方案乙中的一次函数为y=-x+200，
∴第四天、第五天的销售量均为-180+200=20件，
∴方案乙前五天的总利润为：130×70+150×50+160×40+180×20+180×20-120×（70+50+40+20+20）=6200元，
∵方案甲前五天的总利润为：（150-120）×50×5=7500元，
显然6200＜7500，
∴前五天中方案甲的总利润大；

（2）若按甲方案中定价为150元/件，则日利润为（150-120）×50=1500元，
对乙方案：∵S=xy-120y
=x（-x+200）-120（-x+200）
=-x²+320x-24000
=-（x-160）²+1600，
即将售价定在160元/件时，日利润将最大，最大为1600元，
∵1600＞1500，
∴将产品的销售价定在160元/件，日销售利润最大，最大利润为1600元．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比较简单．