【题目】如图,是一副学生用的三角板,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,∠B=30°;在△A1B1C1中,∠C1=90°,∠B1A1 C1=45°,∠B1=45°,且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角为α,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a.
(1)计算A1C1的长;
(2)当α=30°时,证明:B1C1∥AB;
(3)若a=,当α=45°时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;
(4)当α=60°时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.
(参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=2﹣,sin75°=,cos75°=,tan75°=2+)
【答案】(1)A1C1=;(2)见解析;(3)两个三角板重叠部分图形的面积=3+3;(4)两个三角板重叠部分图形的面积=.
【解析】
(1)在Rt△ABC中,由特殊锐角三角函数值,先求得BC的长,然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长;
(2)利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°,然后利用同位角相等,两直线平行进行判定即可;
(3)两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积-△BC1M的面积;
(4)两个三角板重叠部分图形的面积=.
(1)在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=a,
由特殊锐角三角函数可知:,
∴BC=.
∴B1 A1=
在Rt△A1B1C1,∠B1=∠45°,
∴.
∴A1C1=.
(2)∵∠ACM=30°,∠A=60°,
∴∠BMC=90°.
∴∠C1=∠BMC.
∴B1C1∥AB.
(3)如下图:
由(1)可知:A1C1===3+
∴△A1B1C1的面积=
∵∠A1B1C1=45°,∠ABC=30°
∴∠MBC1=15°
在Rt△BC1M中,C1M=BC1tan15°=(3+)(2﹣)=3﹣,
∴Rt△BC1M的面积==(3+)(3﹣)=3.
∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3.
(4)由(1)可知:BC=,A1C1=,
∴C1F=A1C1tan30°=a,
∴=×a×a=
∵∠MCA=60°,∠A=60°,
∴∠AMC=60°
∴MC=AC=MA=a.
∴C1M=C1A1﹣MC=.
∵∠MCA=60°,
∴∠C1A1B=30°,
∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°
在Rt△DC1M中,由特殊锐角三角函数可知:C1D=C1Mtan60°=a,
∴=C1MC1D=a2,
两个三角板重叠部分图形的面积=a2
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【题目】如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.
(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:AC=AM;
(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与一次函数y=k(x-2)的图象交点为A(3,2),B(x,y).
(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标;
(2)若C是y轴上的点,且满足△ABC的面积为10,求C点坐标.
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【题目】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示:按下列步骤操作:将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中,当正方形和正六边形的边重合时,点B,M间的距离可能是( )
A. 0.5B. 0.7C. ﹣1D. ﹣1
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【题目】如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.
(1)求证AE=BF;
(2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长.
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【题目】为了解某校九年级学生的理化实验操作情况,随机抽查了40名同学实验操作的得分.根据获取的样本数据,制作了如下的条形统计图和扇形统计图.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)扇形 ①的圆心角的大小是 ;
(Ⅱ)求这40个样本数据的平均数、众数、中位数;
(Ⅲ)若该校九年级共有320名学生,估计该校理化实验操作得满分(10分)有多少人.
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【题目】如图,已知点A、P在反比例函数y=(k<0)的图象上,点B、Q在直线y=x-3的图象上,点B的纵坐标为-1,AB⊥x轴,且S△OAB=4,若P、Q两点关于y轴对称,设点P的坐标为(m,n).
(1)求点A的坐标和k的值;
(2)求的值.
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【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为( )
A. B. 3 C. D. 5
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