Question

15、已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂．s₁=x₁²⁰⁰⁵+x₂²⁰⁰⁵，s₂=x₁²⁰⁰⁴+x₂²⁰⁰⁴，s₃=x₁²⁰⁰³+x₂²⁰⁰³．求as₁+bs₂+cs₃的值．

Answer 1

分析：已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x_{2^{，可将根代入方程得}}ax₁²+bx₁+c=0，ax₂²+bx₂+c=0，再将所得代入下式得as₁+bs₂+cs₃=a（x₁²⁰⁰⁵+x₂²⁰⁰⁵）+b（x₁²⁰⁰⁴+x₂²⁰⁰⁴）+c（x₁²⁰⁰³+x₂²⁰⁰³）=（ax₁²⁰⁰⁵+bx₁²⁰⁰⁴+cx₁²⁰⁰³）+（ax₂²⁰⁰⁵+bx₂²⁰⁰⁴+cx₂²⁰⁰³）=x₁²⁰⁰³（ax₁²+bx₁+c）+x₂²⁰⁰³（ax₂²+bx₂+c）=x₁²⁰⁰³×0+x₂²⁰⁰³×0=0．

解答：解：∵x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根．
∴ax₁²+bx₁+c=0，ax₂²+bx₂+c=0
又∵s₁=x₁²⁰⁰⁵+x₂²⁰⁰⁵，s₂=x₁²⁰⁰⁴+x₂²⁰⁰⁴，s₃=x₁²⁰⁰³+x₂²⁰⁰³
∴as₁+bs₂+cs₃=a（x₁²⁰⁰⁵+x₂²⁰⁰⁵）+b（x₁²⁰⁰⁴+x₂²⁰⁰⁴）+c（x₁²⁰⁰³+x₂²⁰⁰³）
=ax₁²⁰⁰⁵+ax₂²⁰⁰⁵+bx₁²⁰⁰⁴+bx₂²⁰⁰⁴+cx₁²⁰⁰³+cx₂²⁰⁰³
=（ax₁²⁰⁰⁵+bx₁²⁰⁰⁴+cx₁²⁰⁰³）+（ax₂²⁰⁰⁵+bx₂²⁰⁰⁴+cx₂²⁰⁰³）
=x₁²⁰⁰³（ax₁²+bx₁+c）+x₂²⁰⁰³（ax₂²+bx₂+c）
=x₁²⁰⁰³×0+x₂²⁰⁰³×0
=0

点评：本题不仅考查代数式的求值问题，还重点考查了一元二次方程的解得问题，再结合因式分解的方法，化简代数式，本题有点难度，要认真分析，联系已知，要引起注意．