Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

（1）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到，也就有，可得△OAQ∽OPA，从而有∠OAQ＝∠APO．易证∠CAP＝∠APO，从而有∠CAP＝∠OAQ，则有∠CAQ＝∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得，所以A正确．

（2）由△OBP∽△OQB得，即，由AQ≠OP得，故C不正确．

（3）连接OR，易得，，得到，故B不正确．

（4）由及AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR可得，由AB≠AP得，故D不正确．

解：（1）连接AQ，如图1，

∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，

∴∠ABP＝∠ACB＝90°．

∵OQ⊥BC，

∴∠OQB＝90°．

∴∠OQB＝∠OBP＝90°．

又∵∠BOQ＝∠POB，

∴△OQB∽△OBP．

∴．

∵OA＝OB，

∴．

又∵∠AOQ＝∠POA，

∴△OAQ∽△OPA．

∴∠OAQ＝∠APO．

∵∠OQB＝∠ACB＝90°，

∴AC∥OP．

∴∠CAP＝∠APO．

∴∠CAP＝∠OAQ．

∴∠CAQ＝∠BAP．

∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，

∴△ACQ∽△ABP．

∴．

故A正确．

（2）如图1，

∵△OBP∽△OQB，

∴．

∴．

∵AQ≠OP，

∴．

故C不正确．

（3）连接OR，如图2所示．

∵OQ⊥BC，

∴BQ＝CQ．

∵AO＝BO，

∴OQ＝AC．

∵OR＝AB．

∴，．

∴．

∴．

故B不正确．

（4）如图2，

∵，

且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，

∴．

∵AB≠AP，

∴．

故D不正确．

故选：A．