【题目】如图,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,AB=4,点B的坐标为(-1,0),点C在y轴的正半轴.若抛物线的图象经过点A,B,C.
(Ⅰ)求y关于x的函数解析式;
(Ⅱ)设对称轴与抛物线交于点E,与AC交于点D。在对称轴上,是否存在点P,使以点P、C、D为顶点的三角形与ΔADE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(Ⅲ)若在对称轴上有两个动点P和Q(点P在点Q的上方),且PQ=,请求出使四边形BCPQ周长最小的点P的坐标.
【答案】(Ⅰ) y=(Ⅱ)(1,-);(1,) (Ⅲ)P(1,)
【解析】
试题分析:(Ⅰ) 根据抛物线的对称性确定出点A(3,0),设y=a(x+1)(x-3),利用相似三角形求出线段OC=,得出C(0,),然后把点C的坐标代入函数解析式求出a的值即可,(Ⅱ)求出点E、D的坐标,然后分①当点P在D下方,②当点P在D下方,两种情况讨论,利用相似三角形的性质可分别确定出点P的坐标;(Ⅲ)确定点C关于对称轴x=1的对称点C’(2,),过点B作BF⊥x轴,求出直线直线FC’的解析式,令x=1,可求出满足条件的点P的坐标.
试题解析:(Ⅰ)∵AB=4,B(-1,0), ∴OA=3,点A(3,0)
易算得OC=,∴C(0,)
设y=a(x+1)(x-3),把点C的坐标代入函数解析式,得a=
∴y=
(Ⅱ)由y=得抛物线的对称轴为直线x=1.
当x=1时,y=,∴E(1, )
设直线AC的解析式为y=kx+b,由A(3,0),C(0,)
求得y=
当x=1时,y=,∴D(1, ),则DE=
设对称轴交x轴于H点,则DH=.
在直角三角形ACO和ADP中,易求得AC=2,AD=,∴DC=.
①当点P在D下方,且DP=DA=时,ΔPDC≌ΔADE。
此时,点P的坐标为(1,-)
②当点P在D下方,且时,ΔCDP∽ΔADE,解得DP=.
此时,点P的坐标为(1,)
(Ⅲ)作点C关于对称轴x=1的对称点C’,则C’(2,)。
过点B作BF⊥x轴,使BF=PQ=,则F(-1,),
连结FC’,交对称轴于点P。点P就为所求的点。
设直线FC’的解析式为y=mx+n。
将点C’(2,)和F(-1,)代入y=mx+n得m=
∴y=。
当x=1时,y=, 即P(1,)
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【题目】关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是( )
A.点(0,k)在l上
B.l经过定点(﹣1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大
D.l经过第一、二、三象限
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【题目】对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( )
A. ∠1=50°,∠2=40° B. ∠1=50°,∠2=50°
C. ∠1=40°,∠2=40° D. ∠1=45°,∠2=45°
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【题目】在下列命题中,正确的是 ( )
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
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【题目】一个两位数的个位数字是a,十位数字是b(b≠0),用代数式表示这个两位数为( )
A. 10b+a B. 10a+b C. b+a D. 100a+10b
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